Trabajo de Geometría

1.El triángulo

¿Qué es un triángulo?

El triángulo es un polígono de tres lados.

1.1 Propiedades y tipos de triángulos

Propiedades

• El lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.
• La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.
• Si un triángulo tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos también son iguales.

Tipos

 - Según sus lados:



Equilátero
Tres lados iguales

Isósceles
Dos lados iguales

Escaleno
Tres lados desiguales

-Según sus ángulos:

Rectángulo
Un ángulo recto

Acutángulo
Tres ángulos agudos

Obtusángulo
Un ángulo obtuso

1.2 Rectas y puntos notables en el triángulo

                                                                                                               Incentro

El incentro es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo, por lo que la distancia a cada uno de sus lados es la misma (el radio de dicha circunferencia). Más concretamente, es el punto de intersección de las bisectrices de cada uno de los ángulos del triángulo (siendo una bisectriz la recta que divide a un ángulo en dos ángulos iguales), por lo que para representarlo gráficamente debemos dibujar las tres bisectrices y localizar el punto de intersección de las mismas.

                                                                                               Circuncentro

El circuncentro de un triángulo es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo, por lo que la distancia a cada uno de sus vértices es la misma (el radio de dicha circunferencia). En concreto, es el punto de intersección de las mediatrices del triángulo (siendo una mediatriz la recta perpendicular a un lado que pasa por el punto medio del mismo). Por tanto, para representar gráficamente el circuncentro dibujamos las tres mediatrices y localizamos el punto de intersección de las mismas.

                                                                                  Ortocentro

El ortocentro de un triángulo es el punto de intersección de las tres alturas del triángulo (siendo una altura el segmento que parte de un vértice y es perpend
icular al lado opuesto a dicho vértice). Entonces para representar gráficamente el ortocentro de un triángulo dibujamos las tres alturas y nos quedamos con el punto en el que se intersecan.

                Baricentro

 

El baricentro (también llamado centroide) de un triángulo es el punto de intersección de las medianas de dicho triángulo (siendo una mediana el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto). Por ello, para representar gráficamente el baricentro debemos dibujar las tres medianas y localizar el punto en el que se cortan.

1.3 El Teorema de Pitágoras

La suma del cuadrado de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

h² = a² + b²

1.3.1 Demostración gráfica

 

1.3.2 El teorema en 3D

1.4 El Teorema de Thales

                                                              Video les luthiers

Triángulos Semejantes

Si tres o más paralelas son cortadas por dos transversales dos segmentos de una de estas son proporcionales a los dos segmentos correspondientes de la otra.

 2. Lugares Geométricos

2.1 ¿Qué es un lugar geométrico?

Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos del plano que cumplen una determinada relación geométrica. Tiene que traducirse a lenguaje algebraico de ecuaciones.

 2.2 La mediatriz y la bisectriz

• Mediatriz: Es un lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos de un segmento. La mediatriz de un segmento es la línea recta perpendicular a dicho segmento trazada por su punto medio
• Bisectriz: Es un lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de las semirrectas que forman el ángulo. La bisectriz es de un ángulo de la recta que pasa por el vértice del ángulo y lo divide en dos partes iguales.

2.3 Las cónicas

2.3.1 ¿Qué es una cónica?

Se denomina cónica (o sección cónica) a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice. Se clasifican en tres tipos: elipses, parábolas e hipérbolas.

2.3.2 La circunferencia

Es la línea curva cerrada y plana cuyos puntos equidistan de otro interior llamado centro. La posición del plano encerrada en el interior de una circunferencia es un círculo. 

Partes:

• RADIO: Es la linea que une el centro con un punto de la circunferencia.
• CUERDA: es el segmento que une dos puntos cualquiera de la circunferencia.
• DIÁMETRO: Es toda cuerda que pasa por el centro.
• ARCO: Es la porción de circunferencia comprendida entre dos puntos de la misma.
• ÁNGULO CENTRAL: Es todo ángulo cuyo vértice sea el centro de la circunferencia. 

2.3.3 La elipse

La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es constante. 

• Obtención de un cono

• Método del jardinero

2.3.4 La hipérbola

Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva.

• Obtención de un cono

• La lámpara hiperbólica

Las figuras sobre la pared, estan formadas por la luz de la lámpara, se pueden reproducir experimentalmente tomando las medidas de cualquier lámpara del tipo que tengamos en casa y de su posición relativa a la pared.

2.3.5 La parábola

La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo

llamado foco y de una recta fija llamada directriz.

• Obtención de un cono

• El horno solar

Es una estructura que usa energía solar concentrada para producir altas temperaturas. Refrectores parabólicos concentran la luz solar sobre un punto focal. La temperatura en el punto focal puede alcanzar los 3500ºC y este calor puede ser usado para generar electricidad, fundir acero, fabricar combustible de hidrógeno.

 

3. Movimientos en el plano

3.1 Las translaciones

Las traslaciones pueden entenderse como movimientos directos sin cambios de orientación, es decir, mantienen la forma y el tamaño de las figuras u objetos trasladados, a las cuales deslizan según el vector.

¿Qué es un vector?

Un vector en matemáticas es un segmento orientado sobre una recta, pero también es una magnitud física definida en un sistema de referencia que se caracteriza por tener módulo y una dirección.

3.2 Ejercicios de vectores y translación

3.2.1 Dados los vectores u= (4,3) y v= (-1,4) hallar:

       a) Su representación gráfica en un sistema de coordenadas

       b) Los vectores u + v y u - v por la regla del paralelogramo

       c) Las componentes de los vectores anteriores

       d) El módulo de cada uno de los vectores

3.2.2 Dibuja las figuras siguientes en una traslación de vector guía u (4,3):

3.3 Giros

3.3.1 Ejercicio: Escribe la inicial de tu nombre y haz varios giros con ella.

 

3.4  Simetría. Ejercicios

3.4.1 Dado el triángulo de vértices A(-2,2), B(6,-1) y C(7,5) se pide:

a) Dibujar el triángulo

b) Hallar el triángulo simétrico respecto del centro de simetría O(0,0)

c) Hallar el triángulo simétrico respecto del eje OX

3.4.2 Euclides (aproximadamente 300 a. C.) enunció las leyes de reflexión de la luz sobre un espejo plano. Herón de Alejandría, 400 años después, afirmó algo más sencillo: "La luz ha de tomar siempre el camino más corto". Sirviéndote de esta idea, halla en que punto del espejo se ha de reflejar un rayo de luz que parte del punto A para que después llegue a B.   

3.4.3 Carlos y Fernando están jugando al billar. En un determinado momento las bolas se encuentran en las posiciones indicadas por el dibujo.

• Indica el camino que debe seguir la bola A para que rebotando en la banda MQ golpee a la bola B.

• Indica el camino que debe seguir la bola A para que rebotando en la banda NP y PQ golpee a la bola B.

3.4.4 Inventa un abecedario simétrico y escribe una frase.

3.5 Frisos, mosaicos y cenefas 

Frisos: Un friso es la aplicación sucesiva de una traslación a una misma figura. Se puede generar un friso mediante traslaciones sucesivas mediante una misma figura y se modifica el valor de n para ir generando las distintas piezas y que se forman el friso.

En la siguiente escena puedes generar un friso mediante traslaciones sucesivas a una misma figura. Modifica el valor de n para ir generando las distintas piezas que forman el friso.

 Mosaicos: Un mosaico es una obra pictórica elaborada con pequeñas piezas de piedra, cerámica, vidrio u otros materiales similares de diversas formas y colores, llamadas teselas, unidas mediante yeso, u otro aglomerante, para formar composiciones decorativas geométricas o figurativas. Cuando las piezas empleadas son de madera se denomina taracea.

Cenefas: Son mosaicos construidos mediante translaciones de otras figuras.

 

4. Resumen de áreas y volúmenes de figuras conocidas

5. La esfera y el globo terráqueo

5.1 Elementos principales de la esfera

5.2 Elementos de la esfera terrestre

5.3 Los husos horarios, la hora local solar y oficial

5.4 Método de de Eratóstenes para calcular el diámetro de la circunferencia.