Trabajo voluntario: Sucesiones numéricas

Investiga y contesta:

 
1. ¿Cómo se representa matemáticamente las sucesiones? Término enésimo, término general, suma de número de términos, etc. 

Las sucesiones matemáticamente se representan:

Se llama sucesión a un conjunto de números dispuestos uno a continuación de otro.

a₁, a₂, a₃ ,..., a_n

Los números a₁, a₂ , a₃ , ...; se llaman términos de la sucesión.

El subíndice indica el lugar que el término ocupa en la sucesión.

El término general es a_n , es un criterio que nos permite determinar cualquier término de la sucesión.

  
IMPORTANTE:

No todas las sucesiones tienen término general. Por ejemplo, la sucesión de los números primos:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,...

El término enésimo es un número que ocupa una posición indeterminada en una sucesión.

Suma de número de términos:

• En una progresión aritmética

Se  llamará S_n  a la suma a₁ + a₂ + ... + a_n

 

Se tiene entonces:

                           S_n = a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_{n - 2} + a_{n - 1} + a_n

       

          despejando:

                                           

Esta fórmula no sólo sirve para sumar los primeros términos de una progresión aritmética sino para sumar cualquier  término consecutivo (n).

Un ejemplo de sucesión es la sucesión de Fibonacci, que dice que los dos primeros términos son unos y los demás se obtienen sumando los dos términos anteriores.

Sucesión de Fibonacci:

 

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ...

Un dato de las sucesiones es que una sucesión es inversible o invertible, si todos sus términos son distintos de cero. 




2.- ¿Cuál es el término general de una progresión aritmética? ¿Podrías deducirlo? 

El término general de una progresión aritmética depende de:

• Si conocemos el primer término...

                   a_n = a₁ + (n - 1) · d

• Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión...

                  a_n = a_z + (n - z) · d$$$$
3. ¿Cómo sumó Gauss los 100 primeros números naturales? ¿Podrías llegar a una fórmula?
 

Sí.

4. ¿Cuál es el término general de una progresión geométrica? ¿Podrías deducirlo?

El término general de una progresión geométrica es una expresión que permite obtener cualquier término, sabiendo el lugar que ocupa.

Los pasos a seguir para calcular el término general de una progresión geométrica son:

1. Observa que cada término es igual al anterior por la razón.
2. Observa que todos los términos se pueden expresar dependiendo del primero.
3. Observa la relación que hay entre la posición de cada término y el número a que está elevada la razón.

     Fórmula del término general
     a_n=  a₁*r^(n-1)

5. La leyenda del rey Sirham de la india del ajedrez. Explica su relación con las progresiones. 

Una antigua leyenda cuenta que el rey Sirham, soberano de la India, era muy rico y a la vez envidiado por su poder, sin embargo, su riqueza era tan inmensa como su aburrimiento y, debido a ello, era un tirano con su pueblo.

Un buen día, un sabio brahmán, Lahur Sissa, con el fin de enseñarle a tratar bien a sus súbditos, buscó la forma de crear un juego donde el rey, a pesar de ser la pieza principal, nada pudiera hacer sin la ayuda de los demás. Lo llamó, Chaturanga, el antepasado del ajedrez. Sorprendido por la ingeniosidad de este juego, Sirham, dió su palabra a Sissa de no molestar más al pueblo y se comprometió a ofrecerle lo que pidiese. Sissa, queriendo darle una nueva lección, pidió que le recompensara con la cantidad de trigo que resultase al poner un grano en la primera casilla, dos en la segunda, cuatro en la tercera, ocho en la cuarta y así sucesivamente siempre doblando la cantidad.

El soberano, estimando que el tablero tenía sesenta y cuatro casillas y que la recompensa no sobrepasase un saco de trigo, le concedió la petición. Sin embargo, después de haber hecho los cálculos, resultó que todo el trigo de la India no era suficiente para recompensar a Sissa, pues se necesitaban nada menos que 18.446.744.073.709.551.615 granos de trigo, si se considera que 21.000 granos pesan un kilo, lo que se debería haber entregado al inventor eran 878.416.384.462 toneladas, cantidad muy superior a la que se podría sembrar considerando toda la superficie de la Tierra.

Sissa fue nombrado primer ministro y cuenta la leyenda que orientando a su rey con sabios y prudentes consejos y distrayéndole con ingeniosas partidas de ajedrez, prestó los más grandes servicios a su pueblo.



La relación que tiene esta leyenda con las progresiones, es que el tablero en el que se juega a  "Chaturanga"tiene 64 casillas y en cada una va doblando la cantidad de 2 en 2.

6. ¿Cómo podemos sumar los granos de trigo de la leyenda anterior? 

De 2 en 2.

7. Busca sucesiones famosas o curiosas

8. Los números pentagonales



9. LA SUCESIÓN DE FIBONACCI Y EL NUMERO AÚREO

 












10. Problema de inflación: Llamamos inflación a la pérdida del valor adquisitivo del dinero. Es decir , si un artículo que costó 100€, al cabo de un año cuesta 115€, la inflación habrá sido del 15%. Supongamos una inflación constante del 15 % anual. Escribe la sucesión a_n que nos muestre el valor de un terreno que hoy cuesta 5000 euros, en los próximos 7 años.



11. La avaricia del usurero: Un usurero muy avaro, plantea al banco su deseo de que le sean abonados los intereses cada hora, o mejor aún, cada minuto, pensando que de esta forma obtendrá unos beneficios muy suculentos. El director del banco accede a su petición, pero además le comunica que van a seguir mejorando su propuesta, pues le abonarán los intereses cada segundo. ¿Podrías calcular en cuánto se convertirá un euro al final del primer año?




http://es.thefreedictionary.com/en%C3%A9simo
http://www.vitutor.com/al/sucesiones/B_sucContenidos.html
 http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Progresiones/Progresiones_geom_termino_general.htm

Trabajo de Geometría

1.El triángulo

¿Qué es un triángulo?

El triángulo es un polígono de tres lados.

1.1 Propiedades y tipos de triángulos

Propiedades

• El lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.
• La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.
• Si un triángulo tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos también son iguales.

Tipos

 - Según sus lados:



Equilátero
Tres lados iguales

Isósceles
Dos lados iguales

Escaleno
Tres lados desiguales

-Según sus ángulos:

Rectángulo
Un ángulo recto

Acutángulo
Tres ángulos agudos

Obtusángulo
Un ángulo obtuso

1.2 Rectas y puntos notables en el triángulo

                                                                                                               Incentro

El incentro es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo, por lo que la distancia a cada uno de sus lados es la misma (el radio de dicha circunferencia). Más concretamente, es el punto de intersección de las bisectrices de cada uno de los ángulos del triángulo (siendo una bisectriz la recta que divide a un ángulo en dos ángulos iguales), por lo que para representarlo gráficamente debemos dibujar las tres bisectrices y localizar el punto de intersección de las mismas.

                                                                                               Circuncentro

El circuncentro de un triángulo es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo, por lo que la distancia a cada uno de sus vértices es la misma (el radio de dicha circunferencia). En concreto, es el punto de intersección de las mediatrices del triángulo (siendo una mediatriz la recta perpendicular a un lado que pasa por el punto medio del mismo). Por tanto, para representar gráficamente el circuncentro dibujamos las tres mediatrices y localizamos el punto de intersección de las mismas.

                                                                                  Ortocentro

El ortocentro de un triángulo es el punto de intersección de las tres alturas del triángulo (siendo una altura el segmento que parte de un vértice y es perpend
icular al lado opuesto a dicho vértice). Entonces para representar gráficamente el ortocentro de un triángulo dibujamos las tres alturas y nos quedamos con el punto en el que se intersecan.

                Baricentro

 

El baricentro (también llamado centroide) de un triángulo es el punto de intersección de las medianas de dicho triángulo (siendo una mediana el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto). Por ello, para representar gráficamente el baricentro debemos dibujar las tres medianas y localizar el punto en el que se cortan.

1.3 El Teorema de Pitágoras

La suma del cuadrado de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

h² = a² + b²

1.3.1 Demostración gráfica

 

1.3.2 El teorema en 3D

1.4 El Teorema de Thales

                                                              Video les luthiers

Triángulos Semejantes

Si tres o más paralelas son cortadas por dos transversales dos segmentos de una de estas son proporcionales a los dos segmentos correspondientes de la otra.

 2. Lugares Geométricos

2.1 ¿Qué es un lugar geométrico?

Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos del plano que cumplen una determinada relación geométrica. Tiene que traducirse a lenguaje algebraico de ecuaciones.

 2.2 La mediatriz y la bisectriz

• Mediatriz: Es un lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos de un segmento. La mediatriz de un segmento es la línea recta perpendicular a dicho segmento trazada por su punto medio
• Bisectriz: Es un lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de las semirrectas que forman el ángulo. La bisectriz es de un ángulo de la recta que pasa por el vértice del ángulo y lo divide en dos partes iguales.

2.3 Las cónicas

2.3.1 ¿Qué es una cónica?

Se denomina cónica (o sección cónica) a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice. Se clasifican en tres tipos: elipses, parábolas e hipérbolas.

2.3.2 La circunferencia

Es la línea curva cerrada y plana cuyos puntos equidistan de otro interior llamado centro. La posición del plano encerrada en el interior de una circunferencia es un círculo. 

Partes:

• RADIO: Es la linea que une el centro con un punto de la circunferencia.
• CUERDA: es el segmento que une dos puntos cualquiera de la circunferencia.
• DIÁMETRO: Es toda cuerda que pasa por el centro.
• ARCO: Es la porción de circunferencia comprendida entre dos puntos de la misma.
• ÁNGULO CENTRAL: Es todo ángulo cuyo vértice sea el centro de la circunferencia. 

2.3.3 La elipse

La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es constante. 

• Obtención de un cono

• Método del jardinero

2.3.4 La hipérbola

Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva.

• Obtención de un cono

• La lámpara hiperbólica

Las figuras sobre la pared, estan formadas por la luz de la lámpara, se pueden reproducir experimentalmente tomando las medidas de cualquier lámpara del tipo que tengamos en casa y de su posición relativa a la pared.

2.3.5 La parábola

La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo

llamado foco y de una recta fija llamada directriz.

• Obtención de un cono

• El horno solar

Es una estructura que usa energía solar concentrada para producir altas temperaturas. Refrectores parabólicos concentran la luz solar sobre un punto focal. La temperatura en el punto focal puede alcanzar los 3500ºC y este calor puede ser usado para generar electricidad, fundir acero, fabricar combustible de hidrógeno.

 

3. Movimientos en el plano

3.1 Las translaciones

Las traslaciones pueden entenderse como movimientos directos sin cambios de orientación, es decir, mantienen la forma y el tamaño de las figuras u objetos trasladados, a las cuales deslizan según el vector.

¿Qué es un vector?

Un vector en matemáticas es un segmento orientado sobre una recta, pero también es una magnitud física definida en un sistema de referencia que se caracteriza por tener módulo y una dirección.

3.2 Ejercicios de vectores y translación

3.2.1 Dados los vectores u= (4,3) y v= (-1,4) hallar:

       a) Su representación gráfica en un sistema de coordenadas

       b) Los vectores u + v y u - v por la regla del paralelogramo

       c) Las componentes de los vectores anteriores

       d) El módulo de cada uno de los vectores

3.2.2 Dibuja las figuras siguientes en una traslación de vector guía u (4,3):

3.3 Giros

3.3.1 Ejercicio: Escribe la inicial de tu nombre y haz varios giros con ella.

 

3.4  Simetría. Ejercicios

3.4.1 Dado el triángulo de vértices A(-2,2), B(6,-1) y C(7,5) se pide:

a) Dibujar el triángulo

b) Hallar el triángulo simétrico respecto del centro de simetría O(0,0)

c) Hallar el triángulo simétrico respecto del eje OX

3.4.2 Euclides (aproximadamente 300 a. C.) enunció las leyes de reflexión de la luz sobre un espejo plano. Herón de Alejandría, 400 años después, afirmó algo más sencillo: "La luz ha de tomar siempre el camino más corto". Sirviéndote de esta idea, halla en que punto del espejo se ha de reflejar un rayo de luz que parte del punto A para que después llegue a B.   

3.4.3 Carlos y Fernando están jugando al billar. En un determinado momento las bolas se encuentran en las posiciones indicadas por el dibujo.

• Indica el camino que debe seguir la bola A para que rebotando en la banda MQ golpee a la bola B.

• Indica el camino que debe seguir la bola A para que rebotando en la banda NP y PQ golpee a la bola B.

3.4.4 Inventa un abecedario simétrico y escribe una frase.

3.5 Frisos, mosaicos y cenefas 

Frisos: Un friso es la aplicación sucesiva de una traslación a una misma figura. Se puede generar un friso mediante traslaciones sucesivas mediante una misma figura y se modifica el valor de n para ir generando las distintas piezas y que se forman el friso.

En la siguiente escena puedes generar un friso mediante traslaciones sucesivas a una misma figura. Modifica el valor de n para ir generando las distintas piezas que forman el friso.

 Mosaicos: Un mosaico es una obra pictórica elaborada con pequeñas piezas de piedra, cerámica, vidrio u otros materiales similares de diversas formas y colores, llamadas teselas, unidas mediante yeso, u otro aglomerante, para formar composiciones decorativas geométricas o figurativas. Cuando las piezas empleadas son de madera se denomina taracea.

Cenefas: Son mosaicos construidos mediante translaciones de otras figuras.

 

4. Resumen de áreas y volúmenes de figuras conocidas

5. La esfera y el globo terráqueo

5.1 Elementos principales de la esfera

5.2 Elementos de la esfera terrestre

5.3 Los husos horarios, la hora local solar y oficial

5.4 Método de de Eratóstenes para calcular el diámetro de la circunferencia.

Retos De Tecnología

Estos son los retos que he hecho junto a mi compañera, Lucía Jourdan.

Reto 1: https://scratch.mit.edu/projects/141833574/

Reto 2: https://scratch.mit.edu/projects/151867393/

Reto 3: https://scratch.mit.edu/projects/156478225/

Reto 4: https://scratch.mit.edu/projects/152403448/

Reto 5: https://scratch.mit.edu/projects/152405717/

Reto 6: https://scratch.mit.edu/projects/152406864/

Reto 7: https://scratch.mit.edu/projects/152408209/

Reto 8: https://scratch.mit.edu/projects/152409393/

Reto 9: https://scratch.mit.edu/projects/152410931/

Reto 10: https://scratch.mit.edu/projects/152411348/

Reto 11: https://scratch.mit.edu/projects/152411959/

Reto 12: https://scratch.mit.edu/projects/142363339/

Entrada 6

Parte 2º: Estudio y representación de funciones

9. Representa gráficamente las funciones que se proponen indicando sus propiedades. Elabora una

tabla resumen con todas las gráficas obtenidas.

a) Función lineal creciente

b) Función lineal constante

c) Función lineal decreciente

d) Rectas paralelas

e y f) Función cuadrática cóncava y convexa 

Entrada 5

ACTIVIDADES SOBRE FUNCIONES

1ª PARTE: Conceptos básicos

1. ¿Cómo puedes expresar la relación entre dos magnitudes como, por ejemplo, la masa y el volumen de un cuerpo?

• Mediante el uso de funciones.

2. ¿Qué es una función? ¿De qué formas pueden expresarse las relaciones entre magnitudes? Pon ejemplos de funciones de la vida cotidiana; puedes buscar en revistas, periódicos, etc. En las figuras siguientes tienes 3 ejemplos:

• Una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio ) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio ) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio.Se pueden expresar mediante fórmulas, tablas, etc.
• Ejemplos:

ejemplo 1

ejemplo 2

ejemplo 3

ejemplo 4

3. ¿Qué es la tasa de variación de una función? ¿Qué valores toma para las funciones crecientes y decrecientes? Puedes utilizar ejemplos gráficos para responder.  

• Se llama tasa de variación a la diferencia entre las ordenadas correspondientes a cualquier punto de abscisas. En las funciones crecientes el valor será positivo mientras que en las funciones decrecientes es negativo.

4. Utilizando la representación gráfica de una o varias funciones, explica las diferencias entre máximos y mínimos absolutos y relativos.

• El máximo y el mínimo absoluto son los puntos más altos y más bajos, respectivamente. y los máximos y mínimos relativos son los puntos en los que se produce el cambio de ascender a descender y viceversa respectivamente.

5. Representa gráficamente dos ejemplos de funciones simétricas respecto al eje de ordenadas (eje y) y respecto al origen (0,0). Explica en qué consiste cada tipo de simetría.

Respecto al eje Y

 

 

 

En estas funciones se aprecia la simetría si "doblas" por el eje y.

Respecto al origen

En estas funciones se aprecia la simetría al "doblar" en diagonal, pasando por el origen.

 

 

6. Representa gráficamente una función periódica indicando por qué se denomina de esa forma.

• Las funciones periódicas son funciones que se repiten sobre un intervalo especificado (periodo). La gráfica se repite una y otra vez así como es trazada de izquierda a derecha.

7. Pon dos ejemplos, uno de función continua y otro de función discontinua. ¿Cuál es la diferencia entre ambas?

• Las funciones continuas se pueden dibujar de un solo trazo mientras que las discontinuas presentan un salto.

8. Investiga: ¿Cuál es el origen del término función?

• El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia xn de la variable x. En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet (1805-1859), quien escribió: "Una variable es un símbolo que representa un número dentro de un conjunto de ello. Dos variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y, se dice que Y es una función (unívoca) de X. La variable X, a la que se asignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se llama variables dependientes. Los valores permitidos de X constituyen el dominio de definición de la función y los valores que toma Y constituye su recorrido".